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Autor
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Tabelle A.5.1.1: Eigenschaften gekrümmter Funktionen am Beispiel der
Kapazitätswertfunktion
. . .
. .
. . . .
. . . . . . .
. . .
XXVII
Tabelle A.5.1.2: Auswertung des Ausdrucks (1) für Kapazitätsexpansion . XXVIII
Tabelle A.5.1.3: Auswertung des Ausdrucks (2) für Kapazitätsreduktion . . XXIX
Tabelle A.5.1.4: Auswertung des Ausdrucks (1´) für Kapazitätsexpansion XXXVII
Tabelle A.5.1.5: Auswertung des Ausdrucks (2´) für Kapazitätsreduktion XXXVII
IV
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2.1:
Graphische Darstellung des Ansatzes von Eberly und Van
Mieghem .
. . . .
.
. . . .
.
. . . . . . 13
Abbildung 2.2: Aufsteigend geordnete Familie von Sigmaalgebren . . . 15
Abbildung 2.3: Die ISD-Politik im Einkapazitätsfall
.
. . . . . . . 21
Abbildung 2.4: Darstellung der ISD-Politik
für
zwei
Kapazitäten . . . . 24
Abbildung 2.5: Zusammenhänge zwischen den folgenden Kapiteln . . . 33
Abbildung 3.1:
Graphische Darstellung des Ansatzes von Eberly und Van
Mieghem unter einem modifizierten
Informationsstand . . 36
Abbildung 5.1:
Darstellung der streng konkaven Kapazitätswertfunktion
und
deren
Ableitungsfunktion . . . . . .
. . . . 62
Abbildung 5.2: Lineare Kostenstrukturen . .
. . . . . . .
. . . 63
Abbildung 5.3: Streng konvexe Kostenstrukturen . . . . . . . . . 64
Abbildung 5.4: Streng konkave Kostenstrukturen . . . . . . . . . 64
Abbildung 5.5: Partitionierung der Anfangskapazitätsniveaus . . . . . 67
Abbildung 5.6: Optimale Kapazitätserhöhung bei linearen Kostenstrukturen 71
Abbildung 5.7:
Optimale Kapazitätserhöhung bei streng konvexen
Kostenstrukturen
.
. . . .
.
. . . .
.
. . . . 72
Abbildung 5.8:
Optimale Kapazitätserhöhung bei streng konkaven
Kostenstrukturen
. . .
.
. . . . . .
. . . . . 72
Abbildung 5.9: Verschiedene Desinvestitionserlösfunktionen .
. . . . 79
V
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 5.9: Verschiedene Desinvestitionserlösfunktionen .
. . . . 79
Abbildung 5.10:
Korrespondenz zwischen Kapazitätserhöhung unter
konkaven Kostenstrukturen und Kapazitätsreduktion
bei konvexen Desinvestitionserlösstrukturen . . . . . 82
Abbildung 5.11: Optimale Kapazitätsreduktion bei linearen
Desinvestitionserlösstrukturen . .
. . . . . . . . 83
Abbildung 5.12: Optimale Kapazitätsreduktion bei streng konkaven
Desinvestitionserlösstrukturen . .
. .
. . . . . . 84
Abbildung 5.13: Optimale Kapazitätsreduktion bei streng konvexen
Desinvestitionserlösstrukturen . . .
. . . .
. . . 84
Abbildung 5.14: Optimale Kapazitätserhöhung bei konvexen
Kostenstrukturen
. . . . .
. . . . .
. . . . . 90
Abbildung 5.15:
Das optimale Kapazitätsendniveau als Funktion des
Anfangskapazitätsniveaus bei konvexen
Kostenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . 90
Abbildung 5.16:
Der Einfluss des Anfangskapazitätsniveaus auf das
optimale Endkapazitätsniveau und auf den optimalen
Kapazitätszuwachs bei konvexen Kostenstrukturen . . . 91
Abbildung 5.17: Kostenfunktionen mit stark wechselnder Krümmung . . . 97
Abbildung 5.18:
Optimale Kapazitätserhöhung bei Kostenstrukturen mit
stark wechselnder Krümmung . . . . . . . . . . 97
Abbildung 5.19:
Das optimale Kapazitätsendniveau als Funktion des
Anfangskapazitätsniveaus . . . . . . . . . . . . 98
Abbildung 5.20:
Der Einfluss des Anfangskapazitätsniveaus auf das
optimale Endkapazitätsniveau und auf den optimalen
Kapazitätszuwachs
. . . . .
. . . . .
. . . . 98
VI
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 5.21:
Nicht differenzierbare Kostenfunktionen und zugehörige
Grenzkostenfunktionen . . . . . . . . . . . . 100
Abbildung 5.22:
Grenzerlösfunktion und Grenzkostenfunktion, ausgehend
vom Anfangskapazitätsniveau
1, 1
t
K
-
. . . . . . . . 101
Abbildung 5.23:
Abhängigkeit des optimalen Endkapazitätsniveaus vom
Anfangskapazitätsniveau . . . . . . . . . . . . 101
Abbildung 5.24:
Partitionierung der Anfangskapazitätsniveaus . . . . . 105
Abbildung 5.25:
Abhängigkeit des optimalen Endkapazitätsniveaus vom
Anfangskapazitätsniveau bei streng gekrümmten
Kontrollkostenstrukturen . . . . . . . . . . . . 107
Abbildung 5.26:
Abhängigkeit des optimalen Endkapazitätsniveaus vom
Anfangskapazitätsniveau bei gekrümmten
Kontrollkostenstrukturen . . . . . . . . . . . . 107
Abbildung 5.27:
Mögliche Entwicklungen der optimalen
Endkapazitätsniveaus über die Perioden unter
variierten Kontrollkostenstrukturen . . . . . . . . 110
Abbildung
6.1: Interaktion
von
Kapazitäten . . .
. . .
. . . . .
118
Abbildung 6.2:
Partitionierung der Anfangskapazitätsvektoren im
Zweikapazitätsfall unter konvexen Kosten- und konkaven
Desinvestitionserlösstrukturen . . . . . . .
. . .
121
Abbildung 6.3:
Partitionierung der Anfangskapazitätsvektoren im
Zweikapazitätsfall unter konkaven Kosten- und konvexen
Desinvestitionserlösstrukturen . . . . . . . . . . 122
Abbildung 6.4:
Optimaler Anpassungsprozess unter konvexen Kosten- und
konkaven Desinvestitionserlösstrukturen
. . .
. . . .
132
VII
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 6.5:
Optimaler Anpassungsprozess unter konkaven Kosten- und
konvexen Desinvestitionserlösstrukturen
. .
. . . . .
132
Abbildung 6.6:
Gestalt der Hesse-Matrix der Kapazitätswertfunktion in den
untersuchten Kapazitätskonstellationen . . .
. . . .
139
Abbildung A.5.1.1: Darstellung der Optimalitätsbedingung . . . . . . XXIV
Abbildung A.5.2.1: Abweichung von der getroffenen Annahme . . . . . . XL
Abbildung A.5.3.1: Lineare Kapazitätswertfunktion und streng konvexe
Kostenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . XLV
Abbildung A.5.3.2: Optimale Kapazitätserhöhung bei einer linearen
Kapazitätswertfunktion und streng konvexen
Kostenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . XLVI
Abbildung A.6.2.1: Graphische Interpretation der Gleichung . . . . . . XCIII
Abbildung A.6.2.2: (s,S)-Politik im Fixkostenfall . . . . . . . . . . XCVI
Abbildung A.6.2.3: Anpassungsverhalten gemäß der ISD-Politik im
Zweikapazitätsfall . . . . . . . . . . . . XCVIII
Abbildung A.6.2.4: Anpassungsverhalten gemäß der (s,S)-Politik im
Zweikapazitätsfall . . . . . . . . . . . . . . C
Abbildung A.6.2.5: Anpassungsverhalten gemäß der (s,S)-Politik im
Zweikapazitätsfall, ausgehend von speziellen
Anfangskapazitätstupeln . . . . . . . . . . . . CII
VIII
Abkürzungsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
et al.
und andere
ISD
Invest / Stayput / Disinvest
ff. fortfolgende
Hrsg.
Herausgeber
u.d.N.
unter der Nebenbedingung
vgl.
vergleiche
z.B.
zum
Beispiel
IX
Variablenverzeichnis
Variablenverzeichnis
Indices
}
{
1,...,
t
T
Periodenindex
{
}
1,...,
i
N
Kapazitätsindex
Variablen
,it
K
Kapazitätsniveau
der
Kapazität
i
in Periode t
t
K
Kapazitätsvektor aus den Niveaus aller Kapazitäten in
Periode
t
Funktionen
t
Politik
in
Periode
t
Investitionsstrategie
t
Partielle Investitionsstrategie ab Periode t
,
, 1
,
(
,
i t
i t
i t
C K
K
-
)
)
)
Kostenfunktion der Kapazität i in Periode t
1
(
,
t
t
t
C K
K
-
Gesamtkostenfunktion in Periode t
,
, 1
,
(
,
i t
i t
i t
R K
K
-
Desinvestitionserlösfunktion der Kapazität i in
Periode
t
1
(
,
t
t
t
)
R K
K
-
Gesamtdesinvestitionserlösfunktion in Periode t
( , )
t
t
t
K
Operative Erlösfunktion in Periode t
( )
t
t
K
Erwartete operative Erlösfunktion in Periode t
( , )
T
t
f K
Enderlösfunktion in Periode T
(
1
, ,
t
t
t
t
K
)
-
Erwartete
Gegenwartswertfunktion in Periode t
(
1
,
t
t
t
V K
)
-
Optimale
Wertfunktion
bezüglich
t
in Periode t
(
,
t
t
t
g K
)
Kapazitätswertfunktion
in
Periode
t
X
Variablenverzeichnis
(
,
( ), 1
,
L
i t
i t
t
K
K
)
-
Untergrenzfunktion
der
ISD-Politik
für Kapazität i in Periode t
(
,
( ), 1
,
H
i t
i t
t
K
K
)
-
Obergrenzfunktion
der
ISD-Politik
für Kapazität i in Periode t
( )
t
t
S
Kontinuitätsbereich
der
ISD-Politik
in Periode t
( )
t
t
D
Nachfrage in Periode t
( )
t
t
A
Technologiematrix in Periode t
( )
t
t
p
Preisvektor
in
Periode
t
( )
(
)
t
t
H g K
Hesse-Matrix der Kapazitätswertfunktion in Periode t
Mengen
Menge
der
möglichen
Umweltzustände
t
F
Menge
der
in
Periode
t
verfügbaren Informationen
t
P
Menge
der
möglichen
Investitionsstrategien in Periode t
Parameter
t
Realisierter
Umweltzustand
in
Periode
t
,it
c
Investitionskosten pro Einheit von Kapazität i in
Periode
t
t
c
Vektor aus Investitionskosten pro Einheit für alle Kapazitäten
in Periode t
,
i t
r
Desinvestitionserlöse pro Einheit an verringerter Kapazität i
in Periode t
t
r
Vektor
aus
Desinvestitionserlösen pro Einheit für alle
Kapazitäten in Periode t
Einperiodiger
Diskontierungssatz
XI
1. Einleitung, Zielsetzungen und Aufbau
1. Einleitung , Zielsetzungen und Aufbau
Kurze Produktlebenszyklen, enorme Nachfrageschwankungen und eine rasant
fortschreitende technologische Entwicklung stellen in einer globalisierten Wettbe-
werbssituation die zentralen Herausforderungen der modernen Kapazitätsplanung dar.
Diese kann, besonders in sehr kapitalintensiven Branchen wie der Halbleiterindustrie,
der Automobilindustrie oder dem IT-Sektor einen kritischen Wettbewerbsfaktor
darstellen.
Kapazitätsentscheidungen können strategische Investitionsentscheidungen darstellen,
eine Fehlinvestition kann die Existenz von Unternehmen grundlegend gefährden. Die
Kosten einer Halbleiterfabrik die technisch dem state of the art entspricht, liegen
durchschnittlich bei 1,7 Milliarden Euro
. Hierzu kann beispielsweise der Jahresum-
satz der Infenion Technologies AG in Relation gesetzt werden, der im Jahr 2005 6,76
Milliarden Euro betrug
.
Sogar in einer stabilen gesamtwirtschaftlichen Lage muss in der Halbleiterbranche
von einer sehr schwer zu prognostizierenden Nachfrage ausgegangen werden, welche
um bis zu 80% vom Durchschnittswert abweicht
.
Erschwerend für jegliche Planungsaktivitäten kommen eine besonders stark ausge-
prägte Technologieunsicherheit und lange Kapazitätslieferzeiten hinzu
.
In vielerlei Hinsicht steht die Hightechbranche mit ihren spezifischen Herausforde-
rungen stellvertretend für die zukünftige Unternehmenswelt
.
1
Vgl. Cakanyildirim, M./Roundy, R. O. (1999), S.1.
2
Vgl. Infenion Technologies AG Geschäftsbericht (2005), S. 2.
3
Vgl. Wu, S. D./Erkoc, M./Karabuk, S. (2005), S. 126.
4
Vgl. Huh, W. T./Roundy, R. O./Cakanyildirim, M. (2005), S. 137.
5
Vgl. Beckman, S./Sinha, K. (2005), S. 115.
1
1. Einleitung, Zielsetzungen und Aufbau
Die vorliegende Diplomarbeit fokussiert die taktisch-strategische Kapazitätsplanung
.
Diese kann nur dann in sinnvoller Weise erfolgen, wenn dynamische Entwicklungen
am Markt und verschiedene mit Unsicherheit behaftete Entscheidungsparameter
explizit berücksichtigt werden.
Die Arbeit Multifactor Dynamic Investment under Uncertainty
von Eberly und Van
Mieghem aus dem Jahr 1997, die dieser Diplomarbeit zugrunde liegt, untersucht die
angesprochene Problematik und stellt in ihrem Forschungsbereich eine Grundlagenar-
beit dar: Ein mehrperiodiger stochastisch-dynamischer Ansatz zur Kapazitätsplanung
wird entwickelt und die hierfür optimale Politik, die ISD-Politik, hergeleitet. Diese
hier eingeführte Politik wurde im Folgenden von zahlreichen weiteren Arbeiten
aufgegriffen und führte hierdurch zu sehr bedeutsamen Erkenntnissen im Bereich der
Kapazitätsplanung. Beispielhaft kann die Arbeit Multi-resource investment strategies:
Operational hedging under demand uncertainy
von Harrison und Van Mieghem
genannt werden, die sich mit der Fragestellung beschäftigt, inwieweit Kapazitätspla-
nung unter Unsicherheit zu anderen Ergebnissen führt als eine deterministische
Planung.
Die vorliegende Diplomarbeit setzt in zwei Punkten an die Arbeit von Eberly und Van
Mieghem an:
Dem beschriebenen Ansatz liegt die Annahme zugrunde, dass alle stochastischen
Parameter, die den Kapazitätsbedarf der aktuellen Periode determinieren, vor der
Kapazitätsentscheidung der aktuellen Periode bekannt sind. Implizit wird dadurch
unterstellt, dass Kapazität perfekt reaktiv ist und zusätzliche Kapazitätseinheiten ohne
Zeitverzug beschafft werden können. Jedoch ist die Kapazitätsbeschaffung in der
6
Vgl. Günther, H. O. (1989), S. 11 für eine Einordnung von Kapazitätsplanungsaktivitäten in
Planungsebenen.
7
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997).
8
Vgl. Harrison, J. M./Van Mieghem, J. A. (1999).
2
1. Einleitung, Zielsetzungen und Aufbau
betrieblichen Praxis meist mit lead times verbunden, beispielsweise muss im High-
techbereich von Kapazitätslieferzeiten ausgegangen werden, die zwischen drei und
sechs Monaten liegen
.
Ein in dieser Diplomarbeit entwickelter stochastisch-dynamischer Planungsansatz
fordert aus diesem Grund eine Kapazitätsentscheidung, die auch für die aktuelle
Periode unter Unsicherheit getroffen werden muss.
Ebenfalls kann angemerkt werden, dass der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
sehr restriktive Annahmen bezüglich der Kosten für zusätzliche Kapazitätseinheiten
und der Desinvestitionserlöse für reduzierte Kapazitätseinheiten trifft:
Lediglich lineare Strukturen werden betrachtet.
Kapazitätsveränderung findet jedoch nicht ausschließlich zu proportionalen Bedin-
gungen statt. Diese Diplomarbeit untersucht, inwieweit diese Annahmen relaxiert und
weitere Kosten- und Desinvestitionserlösstrukturen in den Ansatz integriert werden
können.
Im zweiten Kapitel der vorliegenden Diplomarbeit wird der mehrperiodige Planungs-
ansatz von Eberly und Van Mieghem und die hierfür optimale ISD-Politik eingehend
untersucht.
Auf dieser Basis folgt die Entwicklung eines eigenen Ansatzes zur Kapazitätsplanung
in Kapitel 3. Dieser ist deutlich an den Planungsansatz von Eberly und Van Mieghem
angelehnt, jedoch liegt diesem Ansatz eine schwächere Informationslage zugrunde.
Ebenfalls wird in Kapitel 3 aufgezeigt, dass die ISD-Politik auch für diesen Planungs-
ansatz Optimalitätscharakter besitzt.
9
Vgl. Wu, S. D./Erkoc, M./Karabuk, S. (2005), S. 127.
3
1. Einleitung, Zielsetzungen und Aufbau
Das Kapitel 4 untersucht, unter welchen Bedingungen eine Repräsentation der
mehrperiodigen Kapazitätsplanungsmodelle aus den Kapiteln 2 und 3 unter nichtlinea-
ren Kosten- und Desinvestitionserlösfunktionen in speziellen Optimierungsproblemen
möglich ist. Hierdurch wird die technische Grundlage dafür gelegt, dass der optimale
Kapazitätsanpassungsprozess in den mehrperiodigen Planungsmodellen unter
Annahme nichtlinearer Kosten- und Desinvestitionserlösstrukturen analysiert werden
kann.
Hierzu werden die angesprochenen Optimierungsprobleme in den Kapiteln 5 und 6 im
Ein- und Mehrkapazitätsfall untersucht, was zu Strukturaussagen über den optimalen
Anpassungsprozess in den mehrperiodigen Planungsmodellen führt.
Ebenfalls wird im Rahmen dieser Diplomarbeit thematisiert, inwieweit die Miteinbe-
ziehung von Fixkosten die Struktur der optimalen Politik in den Planungsmodellen
aus den Kapiteln 2 und 3 verändert. Die Überlegungen hierzu beziehen sich jedoch
explizit nur auf einperiodige Probleme und sind aus diesem Grund nicht im Hauptteil,
sondern im Kapitel A.6.2 des Anhangs zu finden.
Im Rahmen einer Schlussbetrachtung in Kapitel 7 werden die Ergebnisse dieser
Diplomarbeit kritisch gewürdigt und im Hinblick darauf untersucht, inwieweit die
Möglichkeit besteht, weitere Untersuchungen auf Basis der gewonnenen Erkenntnisse
durchzuführen.
4
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Da die weiteren Inhalte der vorliegenden Diplomarbeit direkt oder indirekt auf dem
Ansatz von Eberly und Van Mieghem
und der hier eingeführten Form einer optima-
len Kapazitätsanpassungspolitik aufbauen, wird die Arbeit dieser beiden Autoren nun
eingehend untersucht.
Der Abschnitt 2.1 enthält in einem Literaturüberblick eine Einordnung dieser Arbeit,
insbesondere als Grundlage weiterer Forschungsleistungen in diesem Bereich.
Abschnitt 2.2 stellt den genannten Ansatz formalisiert dar und erläutert die diesem
zugrunde liegenden Annahmen bezüglich der Berücksichtigung von Unsicherheit und
der Kosten- und Desinvestitionserlösstrukturen.
Das zentrale Ergebnis der Arbeit, die ISD-Politik als Lösungsstruktur für das unter-
suchte mehrperiodige Planungsmodell
, wird in Abschnitt 2.3 definiert und beschrie-
ben.
Das Kapitel schließt mit einer kritischen Würdigung der Arbeit von Eberly und Van
Mieghem in Abschnitt 2.4 ab. Ebenfalls enthält dieser Abschnitt einen Ausblick auf
die weiteren Inhalte der vorliegenden Diplomarbeit.
1
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997).
2
Trotz der Fokussierung auf Strukturfragen wird das Modell von Eberly und Van Mieghem im
Weiteren als ,,Planungsmodell" oder auch als ,,Planungsansatz" bezeichnet.
5
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
2.1 Literaturüberblick
Die Arbeit von Eberly und Van Mieghem stellt den Ausgangspunkt für einige weitere
Arbeiten im Bereich der Kapazitätsplanung dar. Für einen breiten Überblick über
relevante Literatur und aktuelle Entwicklungen in diesem Forschungsbereich sei auf
Van Mieghem
und Wu/Erkoc/Karabuk
verwiesen.
Als grundlegend für die Arbeit von Eberly und Van Mieghem können die Arbeiten
von Arrow
, Bernake
und Dixit
angesehen werden. Hier werden reversible
Investitionsprobleme in einer stochastischen Umgebung untersucht. Diese Arbeiten
gehen jedoch von nur einem Kapazitätsfaktor aus.
Mehrkapazitätsmodelle liegen beispielsweise den Arbeiten von Wildasin
, Nadi-
ri/Rosen
und Galeotti/Schiantarelli
zugrunde.
Fine/Freund
untersuchen ebenfalls ein einperiodiges Mehrfaktorenmodell und
formulieren Aussagen über den Wert von flexiblen Kapazitäten.
Eberly und Van Mieghem untersuchen ein mehrperiodiges stochastisch-dynamisches
Kapazitätsplanungsmodell und gehen hierbei von einer beliebigen Anzahl an
Kapazitäten aus, die zu linearen Kosten- und Desinvestitionserlösen angepasst
werden können.
3
Vgl. Van Mieghem, J. A. (2003).
4
Vgl. Wu, S. D./Erkoc, M./Karabuk, S. (2005).
5
Vgl. Arrow, K. J. (1968).
6
Vgl. Bernake, B. (1983).
7
Vgl. Dixit, A. (1989).
8
Vgl. Wildasin, D. E. (1984).
9
Vgl. Nadiri, M. I./Rosen, S. (1969).
10
Vgl. Galeotti, M./Schiantarelli, F. (1991).
11
Vgl. Fine, C./Freund, R. (1990).
6
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Hierfür wird die Form der optimalen Politik hergeleitet und als ISD-Politik bezeich-
net.
Zeitgleich und unabhängig von Eberly und Van Mieghem entwickelt Dixit
eine
strukturell nahezu identische Arbeit. Er untersucht die Form der optimalen Kapazi-
tätsanpassung bei jedoch nur zwei vorhandenen Kapazitätsarten, die mit Kapital und
Arbeit assoziiert werden. Somit kann diese Arbeit als Spezialfall der Arbeit von
Eberly und Van Mieghem betrachtet werden. Ebenfalls nimmt Dixit lineare Kosten-
und Desinvestitionserlösstrukturen an. Endogen wird eine Rangfolge der beiden
Kapazitätsfaktoren generiert, wobei der untergeordnete Faktor weniger oft angepasst
wird. Die Art einer Kapazitätsveränderung (Erhöhung oder Reduktion) dieser
Kapazität orientiert sich grundsätzlich an der Art der Kapazitätsveränderung der
übergeordneten Kapazität.
Einige Arbeiten greifen die bei Eberly und Van Mieghem eingeführte ISD-Politik auf
und untersuchen auf dieser Grundlage weitere Problemstellungen, ebenfalls unter der
Annahme linearer Kosten- und Desinvestitionserlösfunktionen.
Harrison/Van Mieghem
gehen von einer Kapazitätsentscheidung unter einer
optimalen ISD-Politik aus und untersuchen hierauf aufbauend Implikationen auf eine
im Anschluss daran auszuführende Produktionsentscheidung. Es wird ein zweistufiges
stochastisch-dynamisches Programm mit recourse
formuliert, welches auch als
Realoptionsmodell
bezeichnet wird
. Ein mehrperiodiger Ansatz wird ausgearbeitet,
wobei die Perioden als unabhängig und die Nachfrage in jeder Periode als identisch
verteilt angenommen wird. Unter Anwendung eines hier eingeführten mehrdimensio-
12
Vgl. Dixit, A. (1997).
13
Vgl. Harrison, J. M./Van Mieghem, J. A. (1999).
14
Vgl. beispielhaft Dixit, A./Pindyck, R. S. (1994).
7
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
nalen
Newsvendor-Ansatzes gelangen die Autoren zu geschlossen darstellbaren und
graphisch interpretierbaren Ergebnissen, die hochgradige Praxisrelevanz aufweisen.
Eine deterministische Kapazitätsplanung, die beispielsweise auf festen Nachfrage-
prognosen beruht, führt zu grundsätzlich anderen Kapazitätsentscheidungen als eine
Planungssituation unter Unsicherheit. Im stochastischen Fall ist die Kapazitätsent-
scheidung in der Regel dadurch gekennzeichnet, dass unter keinem möglichen
Nachfrageszenario alle Kapazitäten voll ausgelastet werden können. Aus einer
Abwägung von erwarteten Kosten für Über- bzw. Unterkapazitäten ist jedoch diese
Kapazitätsentscheidung bezogen auf die vorhandene Unsicherheit optimal.
Die deterministischen Planungsergebnisse zeichnen sich im Gegensatz hierzu gerade
dadurch aus, dass im antizipierten Nachfrageszenario weder Über- noch Unterkapazi-
tät vorhanden ist.
In Anlehnung an die ISD-Politik und unter Verwendung eines mehrdimensionalen
Newsvendor-Ansatzes
gelangt Van Mieghem
zu Aussagen, die zu einem Umden-
ken bezüglich des Wertes von flexiblen Kapazitäten führen.
Neben den zuletzt genannten Arbeiten, welche explizit die ISD-Politik zu Grunde
legen und auf dieser Basis weitere Problemstellungen untersuchen, existieren
zahlreiche Arbeiten, die ausgehend von sehr unterschiedlichen Fragestellungen
technisch ähnliche Ansätze, wie den bei Eberly und Van Mieghem vorliegenden,
verwenden. Stets handelt es sich hierbei um mehrperiodige stochastisch-dynamische
Modelle. Entsprechend der technischen Übereinstimmung kann in den Arbeiten
ebenfalls die Optimalität der ISD-Politik aufgezeigt werden.
Narongwanich/Duenyas/Birge
untersuchen in einem aus der Automobilindustrie
15
Vgl. Van Mieghem, J. A. (1998).
16
Vgl. Narongwanich, W./Duenyas, I./Birge, J. R. (2002).
8
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
motivierten Ansatz den Einsatz von rekonfigurierbaren
Kapazitätsarten.
Allon/Zeevi
betrachten ein Unternehmen, welches sich in Monopolstellung
befindet und neben der Kapazitätsentscheidung auch eine Preis- und Technologieent-
scheidung zu treffen hat. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen den
beiden hauptsächlichen Entscheidungsvariablen, dem Preis und der Kapazität,
untersucht.
Angelus/Porteus
untersuchen optimale Kapazitätsanpassungspolitiken im mehrpe-
riodigen Kontext und beziehen hierbei die Möglichkeit mit ein, Kapazitätserhö-
hungsentscheidungen zeitlich verschieben zu können.
Weitere Arbeiten, welche sich durch große technische Analogien zur Arbeit von
Eberly und Van Mieghem auszeichnen und dementsprechend stets die ISD-Politik als
optimale Lösungsstruktur aufweisen, sind die Arbeiten von Ahn/Righter/Shanti-
kumar
, Xu/Li
und Li
.
Eine wesentliche Annahme der Arbeit von Eberly und Van Mieghem, die auch allen
technisch vergleichbaren Arbeiten zugrunde liegt, ist, dass Kapazitätsbeschaffung
und Kapazitätsreduktion mit linearen Kosten- und Desinvestitionserlösfunktionen
verbunden sind. Die vorliegende Diplomarbeit untersucht insbesondere, inwieweit
optimale Politiken unter der Annahme nichtlinearer Kosten- und Desinvestitionser-
lösfunktionen nachgewiesen werden können. Es existieren zahlreiche Arbeiten, die
der Kapazitätsbeschaffung gekrümmte Kostenfunktionen zugrunde legen. Atam-
17
Rekonfigurierbarkeit von Kapazitäten wird als die Fähigkeit verstanden, diese auch für zukünftige
Produktgenerationen nutzen zu können.
18
Vgl. Allon, G./Zeevi, A. (2005).
19
Vgl. Angelus, A./Porteus, E. L. (2003).
20
Vgl. Ahn, H. S./Righter, R./Shantikumar, J. G. (2005).
21
Vgl. Xu, S. H./Li. Z. (2005).
22
Vgl. Li, Z. (2005) für ein einperiodiges Modell.
9
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
turk/Hochbaum
untersuchen neben streng konkaven Kostenfunktionen auch
stückweise konkave Kostenfunktionen. Fong/Rao
und Giglio
nehmen ebenfalls
konkave Kostenstrukturen an. Kapazitätsbeschaffung unter konvexen Kostenstruktu-
ren wird beispielsweise bei Erkoc/Wu
, Merz/Yashif
, Hall
und Shapiro
untersucht.
Konvexe Beschaffungskosten werden ebenfalls in der Lagerhaltung thematisiert.
Bellmann/Glicksberg/Gross
leiten im Kontext der mehrperiodigen Lagerhaltung
die Form einer optimalen Politik unter dieser Annahme her. Diese Politik entspricht
strukturell der in dieser Diplomarbeit hergeleiteten optimalen Politik im Einkapazi-
tätsfall unter streng konvexen Kostenstrukturen für die Kapazitätsbeschaffung
.
23
Vgl. Atamturk, A./Hochbaum, D. S. (2001).
24
Vgl. Fong, C. O./Rao, M. R. (1975).
25
Vgl. Giglio, J. R. (1970).
26
Vgl. Erkoc, M./Wu, S. D. (2004).
27
Vgl. Merz, M./Yashif, E. (2003).
28
Vgl. Hall, R. E. (2004).
29
Vgl. Shapiro, M. D. (1986).
30
Vgl. Bellmann, R./Glicksberg, J./Gross, O. (1955).
31
Vgl. Abschnitt 5.1.
10
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
2.2 Darstellung des Ansatzes
In diesem Abschnitt wird der mehrperiodige Planungsansatz von Eberly und Van
Mieghem sowohl beschreibend, als auch formalisiert dargestellt.
Ein Unternehmen besitzt eine endliche Anzahl an Kapazitäten, deren optimales
Anpassungsverhalten unter wechselnden Umweltgegebenheiten in Form eines
mehrperiodigen stochastisch-dynamischen Planungsansatzes untersucht wird
.
Anpassung wird hierbei verstanden als eine Zuweisung neuer Niveaus der Kapazitäten
durch eine Entscheidung. Kapazitätsniveaus können hierbei erhöht oder verringert
werden, wobei eine Kapazitätserhöhung Kosten, eine Kapazitätsverringerung
Desinvestitionserlöse verursacht.
Eberly und Van Mieghem
beschränken sich auf lineare Kosten- und Desinvestition-
serlösfunktionen, wobei die konstanten Einheitskosten für zusätzliche
Kapazitätseinheiten die Desinvestitionserlöse pro Einheit übersteigen
. Die
Kostenfunktion und die Desinvestitionserlösfunktion werden im Folgenden
zusammengefasst als Kontrollkostenfunktion bezeichnet.
Eine Verknüpfung der Perioden findet zum einen über die Kapazitätsentscheidung
statt, hierbei bildet das in Periode angenommene Kapazitätsniveau das Anfangsni-
veau der Periode
, zum anderen sind die Perioden über einen stochastischen
t
1
t
+
32
In dieser Diplomarbeit wird der Ansatz von Eberly und Van Mieghem als ein finiter Planungsansatz
dargestellt. Unter wenig restriktiven zusätzlichen Voraussetzungen sind jedoch alle Ergebnisse auf
den Fall unendlich vieler Perioden anwendbar. Vgl. Eberly, J. C./Van. Mieghem, J. A. (1997),
S.360ff.
33
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997).
34
Kapazitäten mit einer derartigen Kostenstruktur werden in der Literatur als costly to reverse
bezeichnet und in der Regel über geringere Wiederverkaufserlöse für gebrauchte Kapazitäten
motiviert.
11
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Prozess miteinander verbunden. In jeder Periode realisiert sich hierbei ein Umweltzu-
stand
t
, welcher verschiedene entscheidungsrelevante Parameter beeinflusst, die als
Funktionen des eingetretenen Umweltzustandes angenommen werden. Es herrscht
zwar Unsicherheit über Umweltzustände in zukünftigen Perioden, jedoch ist der
eingetretene Umweltzustand der aktuellen Periode, und somit auch die Gesamtheit der
stochastischen Parameter, zum Zeitpunkt der Kapazitätsentscheidung bekannt.
Damit wird Kapazität als perfekt reaktiv verstanden, nach Beobachtung der Umwelt
wird diese sofort angepasst. Diese Annahme kann durchaus kritisch gesehen werden,
da in der betrieblichen Realität eine Kapazitätsanpassung nur mit zeitlichen Verzöge-
rungen möglich ist und somit auch für die aktuelle Periode ex ante stattfinden muss.
So wird im folgenden Kapitel ein eigener mehrperiodiger Kapazitätsplanungsansatz
vorgestellt, der aus dem Ansatz von Eberly und Van Mieghem hervorgeht, jedoch von
einer schwächeren Informationslage ausgeht.
Zu Beginn der Periode t ist das Unternehmen in Besitz des Anfangskapazitätsvektors
35
1
t
K
-
36
37
max
( )
. . .
( )
( )
m
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
t
t
p
x
u d N
A
x
K
x
D
+
(2.1)
35
Der Vektor schließt alle Kapazitäten ein, wohingegen beispielsweise
1, 1
t
K
-
das Anfangskapazitäts-
niveau der Kapazität 1 darstellt.
36
Produktions- und Kapazitätsentscheidung können in diesem Ansatz als zeitlich zusammenfallend
betrachtet werden.
37
Dieses lineare Programm wird auch von Harrison, J. M./Van Mieghem, J. A. (1999) beispielhaft
angegeben.
12
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Die Abbildung 2.1 soll das beschriebene Szenario verdeutlichen. Im Ansatz von
Eberly und Van Mieghem kann Nachfrageunsicherheit
( )
(
)
t
t
D
, Technologieunsi-
cherheit
( )
(
t
t
A
)
und Preisunsicherheit
( )
(
)
t
t
p
eingebunden werden. Produktions-
und Kapazitätsentscheidung fallen zeitlich nach Realisation der stochastischen
Parameter an, wie der Abbildung zu entnehmen ist.
Periode t-1
Periode t
1, 2
t
K
-
1
t
K
-
t
K
1
t
-
t
( )
t
t
D
( )
t
t
A
( )
t
t
p
(
)
1
1
t
t
D
-
-
(
)
1
1
t
t
A
-
-
(
)
1
1
t
t
p
-
-
T
Abbildung 2.1: Graphische Darstellung des Ansatzes von Eberly und Van
Mieghem
Stochastischer Prozess
1
t
x
-
t
x
Das Modell von Eberly und Van Mieghem umfasst sowohl unabhängig agierende
Kapazitäten als auch interagierende Kapazitäten, die beispielsweise zusammen ein
Produkt fertigen. Die Form der Interaktion der Kapazitäten schlägt sich hierbei in der
Struktur der Technologiematrix
t
A
nieder. Die Funktion, die jeder Wahl von neuen
Kapazitätsvektoren
den Erlös bei Annahme der optimalen Lösung des linearen
Programms (2.1) in Periode t zuordnet, wird als operative Erlösfunktion
t
K
( , )
t
t
t
K
bezeichnet. Aus der linearen Programmierung ist bekannt, dass diese für alle
t
konkav im Vektor ist
t
K
.
Die Menge aller möglichen Umweltzustände ( )
ist hierbei periodenunabhängig, d.h.
es gilt:
t
{
}
1,...,
t
T
.
38
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997), S. 349.
13
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Durch eine Kapazitätsanpassung, also einer Änderung von
1
t
K
-
auf
t
K
, werden pro
Kapazität folgende Kontrollkosten verursacht:
,
, 1
,
,
, 1
,
(
,
)
(
,
i t
i t
i t
i t
i t
i t
C K
K
R K
K
-
-
)
-
)
(2.2)
(
)
(
,
,
, 1
,
, 1
,
i t
i t
i t
i t
i t
i t
c
K
K
r
K
K
+
+
-
-
=
-
-
-
39
Das Unternehmen ist im Besitz von N Kapazitäten.
bzw. stellen hierbei die
konstanten Einheitskosten bzw. Desinvestitionserlöse pro Kapazitätseinheit dar. Die
Gesamtkontrollkosten
der getroffenen Entscheidung
ergeben sich als Summe der Kontrollkosten aller Einzelkapazitäten.
,it
c
,it
r
1
,
1
,
(
,
)
(
,
t
t
t
t
t
t
C K
K
R K
K
-
-
-
)
)
In der letzten Periode T verkauft das Unternehmen schließlich die bestehenden
Kapazitäten und erhält dadurch einen Enderlös von
( ,
T
T
f K
40
Das Unternehmen trifft Kapazitätsentscheidungen, die bezogen auf den zugrunde
liegenden mehrperiodigen Ansatz optimal sind. Folglich gehen neben den Erlös- und
Kontrollkostenaussichten der aktuellen Periode ( , ,
t
t
C R
t
) auch die Erwartungen an
alle zukünftige Perioden, gemäß eines Ansatzes aus der dynamischen Programmie-
rung
, in die Entscheidung ein.
Die Informationsgrundlage, auf deren Basis die Erwartungen an zukünftige Perioden
gebildet werden, entsteht durch eine Filtrierung, also eine (zeitlich) aufsteigend
geordnete Familie von Sigmaalgebren, die jeweils für das Wissen in der aktuellen
Periode stehen
. Von Periode zu Periode erhält das Unternehmen hierbei eine
zusätzliche Information in Form des eingetretenen Umweltzustandes.
39
Wobei notationell gilt:
( )
( )
max ,0
x
x
+
=
.
40
( ,
T
T
f K
)
wird hierbei als konkav in
angenommen.
T
K
41
Vgl. Schneeweiß, Ch. (1974).
42
Die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information wird üblicherweise durch eine
Sigmaalgebra, eine mengentheoretische Struktur, beschrieben.
14
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Demnach gilt:
1
t
t
F
F
t
+
= und
1
t
F
+
t
F
für
1,...,
t
T
=
. Abbildung 2.2 soll die
Filtrierung graphisch darstellen.
Abbildung 2.2: Aufsteigend geordnete Familie von Sigmaalgebren
1
t
F
+
t
F
0
F
0
F
, als Wissen des Unternehmens vor Realisation des ersten Elementarereignisses,
könnte als (eventuell vorhandenes) Wissen über die grundsätzlichen Strukturen des
stochastischen Prozesses verstanden werden. Hierbei lässt die Arbeit von Eberly und
Van Mieghem den Typus des herrschenden stochastischen Prozesses offen. Abhängig
hiervon wird eine unterschiedlich große Teilmenge der in der Periode vorliegenden
Informationen genutzt. Während beispielsweise bei einem Markovprozess erster
Ordnung
in Periode t nur
1
t
-
und entscheidungsrelevant sind, könnten weitere
0
F
43
Die Übergangswahrscheinlichkeiten hängen hierbei nur vom aktuellen Zustand, nicht von der
Vorgeschichte ab. Vgl. Bauer, H. (1978) für weitere Ausführungen.
15
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
stochastische Prozesse betrachtet werden, bei welchen für Erwartungen an zukünftige
Zustände beispielsweise alle seitherigen mit einzubeziehen sind.
Eine stochastische Abhängigkeit zwischen Perioden veranlasst das Unternehmen dazu
Erwartungen an die Zukunft auf eine sich ändernde Menge von Informationen zu
konditionieren. Die Periodenentscheidung besteht aus der operativen Komponente der
Maximierung des Periodengewinns und einer strategischen Komponente, welche die
Gewinnaussichten in allen zukünftigen Perioden in Abhängigkeit von der aktuellen
Kapazitätsentscheidung berücksichtigt. Ein Diskontierungssatz
, mit Hilfe dessen
der Gegenwartswert zukünftiger Zahlungen berechnet wird, gewichtet gewissermaßen
beide Komponenten.
Für Probleme mit einer derartigen Gestalt untersucht die Arbeit von Eberly und Van
Mieghem die Form der optimalen Politik. Diese Politik wird als ISD-Politik (In-
vest/Stayput/Disinvest) bezeichnet und stellt unabhängig von der numerischen
Ausprägung des Problems eine generelle Lösungsstruktur dar
.
Nachdem die genannte Arbeit verbal erläutert wurde, folgt nun deren Formalisierung.
In Periode t ist das Unternehmen im Besitz des Anfangskapazitätsvektors
1
t
K
-
. Der
aktuelle Umweltzustand
t
ist bekannt und die optimale Erlösfunktion ( , )
t
t
t
K
als
Repräsentant eines optimal gelösten linearen Programms steht fest.
Es wird eine Kapazitätsentscheidung getroffen, wobei lineare Kosten und Erlöse
durch die Veränderung des Kapazitätsniveaus entstehen. Die Zuordnung eines
Vektors
t
K
zu allen möglichen Kombinationen aus
1
t
K
-
und
t
wird als Politik
bezeichnet. Eine optimale Politik über die Perioden
{
}
1,...,
t
T
stellt die optimale
Strategie und damit die Zielgröße des Problems dar. Eine Politik wird hierbei genau
44
In Theorem 2 auf S. 353 wird die Optimalität der ISD-Politik aufgezeigt.
16
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
dann als optimal bezeichnet, wenn sie die Summe aus dem Gewinn der aktuellen
Periode und dem erwarteten (diskontierten) Gewinn in allen zukünftigen Perioden
maximiert.
Eine Politik
t
in Periode kann somit folgendermaßen als Funktion dargestellt
werden:
t
(
) ( )
1
:
:
,
n
n
t
t
t
K
+
+
-
×
t
K
(2.3)
Eine Investitionsstrategie ist die Beschreibung einer Politik für alle Perioden:
(
) (
) (
)
(
)
(
)
1
0
1
2
1
2
3
2
3
1
,
,
,
,
,
,...,
,
T
T
T
K
K
K
K
-
=
,
(2.4)
(
)
1
2
3
,
,
,...,
T
K K K
K
=
Eine Investitionsstrategie
t
ab Periode für
wird hierbei als partielle Investiti-
onsstrategie bezeichnet.
t
1
t
>
Nun wird die oben verbal formulierte Miteinbeziehung von Gewinnen aus zukünfti-
gen Perioden formalisiert. Anschließend wird die Bellmann-Gleichung, die den
dynamischen Ansatz reflektiert, aufgestellt. Durch Umstellung dieser Gleichung erhält
man die Kapazitätswertfunktion, welche die Repräsentation des mehrperiodigen
Ansatzes in einem Optimierungsproblem ermöglicht.
Für den gegebenen Anfangskapazitätsvektor
1
t
K
-
in Periode t und bei Anwendung
einer partiellen Investitionsstrategie
t
erhält ein Unternehmen einen erwarteten
(diskontierten) Gesamtgewinn, welcher durch die Gegenwartswertfunktion
(
1
, ,
t
t
t
t
K
)
-
bestimmt wird. Diese hängt zusätzlich vom eingetretenen Umweltzu-
stand
t
ab.
17
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Die Gegenwartswertfunktion wird folgendermaßen definiert:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
, ,
,
,
,
( , )
T
T
t
t
t
t
t
t
T
t
t
t
K
K
C K
K
R K
K
f
K
F
-
+ -
-
-
-
=
=
-
+
+
(2.5)
Die Entscheidung des Unternehmens in Periode ist hierbei auf die in Periode
bekannten Informationen konditioniert.
t
t
t
F
Die Menge aller in Periode möglichen partiellen Investitionsstrategien wird als
t
t
bezeichnet. Aus dieser Menge soll nun die optimale Strategie isoliert werden. Falls
diese Strategie vom Unternehmen angewendet wird, erhält das Unternehmen einen
Gewinn, welcher durch die optimale Wertfunktion quantifiziert wird. Die optimale
Wertfunktion ordnet jedem Anfangskapazitätsvektor
1
t
K
-
und in Periode t eingetre-
tenen Umweltzustand
t
den erwarteten, über alle Perioden aufsummierten Gesamt-
gewinn, bei Anwendung der optimalen partiellen Investitionsstrategie
in Periode t
zu. Die optimale Wertfunktion bezüglich
t
in Periode wird als
t
(
)
1
,
t
t
t
V K
-
bezeichnet:
(
)
(
1
1
,
sup
, ,
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
V K
K
)
-
-
=
(2.6)
Diese Funktion erfüllt die rekursiven Optimalitätsgleichungen, die aus der dynami-
schen Programmierung bekannt sind:
(
)
{
( )
(
)
}
(
)
1
1
1
1
1
1
1
,
sup
( , )
(
, )
(
, ))
(
,
( ,
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
T
T
T
T
T
V K
K
C K
K
R K
K
E V
K F
V
K
f K
)
-
-
-
+
+
+
+
=
-
+
+
=
(2.7)
45
Dies ist äquivalent dazu, dass in allen zukünftigen Perioden die optimale Politik angewendet wird.
18
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Falls das obige Supremum durch die Anwendung einer einzigen Strategie erreicht
wird, wird diese als die optimale Investitionsstrategie bezeichnet. Notwendig für die
zu definierende Kapazitätswertfunktion sind die folgenden Eigenschaften der
optimalen Wertfunktion:
(
)
1
,
t
t
t
V K
-
ist konkav in
1
t
K
-
, stetig und differenzierbar für
alle
{
}
1,...,
t
T
46
Es folgt die Einführung der Kapazitätswertfunktion, die jedem Vektor aus möglichen
Kapazitätsniveaus und eingetretenen Umweltzuständen in Periode t einen reellen
Wert zuweist, der sich aus den Erlösen der aktuellen Periode und den erwarteten
aggregierten Gewinnen in allen zukünftigen Perioden additiv zusammensetzt. Die
erwarteten Gewinne in zukünftigen Perioden werden mit Hilfe der optimalen Wert-
funktion berechnet und stehen demnach unter der Annahme, dass in allen zukünftigen
Perioden die optimale Politik angewendet wird.
Die Kapazitätswertfunktion
hat demnach die folgende Struktur:
:
n
t
g
+
×
(
)
( )
( )
1
,
( , )
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
g K
K
V
K F
+
=
+
(2.8)
Diese Funktion ist von entscheidender Bedeutung. Sie ist eine geschlossen konkave,
also konkave
, endliche und stetige Funktion. Mit Hilfe dieser Funktion kann in jeder
Periode die optimale Kapazitätsentscheidung getroffen werden, da diese Funktion die
Folgen einer Kapazitätsentscheidung im mehrperiodigen Kontext quantifiziert.
Aussagen über optimale Kapazitätsanpassungsstrukturen im mehrperiodigen Modell
können anhand dieser ,,handlichen" Funktion formuliert werden.
46
Vgl. Theorem 1 bei Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997), S. 351ff.
47
Diese Eigenschaft ergibt sich direkt durch Betrachtung der beiden konkaven Summanden, aus
denen sich die Funktion zusammensetzt.
19
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Um die optimale Kapazitätsentscheidung in Periode t zu treffen, wird das folgende
konkave
Optimierungsproblem gelöst:
(
)
{
}
1
1
sup
,
(
,
)
(
,
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
K
g K
C K
K
R K
K
-
-
-
+
(2.9)
Eberly und Van Mieghem nehmen lineare Kontrollkostenstrukturen an. Demnach
kann das Optimierungsproblem auch folgendermaßen formuliert werden:
(
)
1,
2,
,
1,
2,
,
,
,
, 1
,
, 1
,
,
,...,
1
1
sup
,
,...,
,
(
)
(
)
t
t
N t
N
N
t
t
t
N t
t
i t
i t
i t
i t
i t
i t
K
K
K
i
i
g K K
K
c
K
K
r
K
K
+
+
-
-
=
=
=
-
-
+
-
(2.10)
Im Theorem 2
der beschriebenen Arbeit wird aufgezeigt, dass für dieses Optimie-
rungsproblem eine bestimmte Lösungsstruktur in Form einer optimalen Politik
existiert.
Diese wird als ISD-Politik bezeichnet und wird im folgenden Abschnitt definiert und
im Ein- und Mehrkapazitätsfall beschrieben.
48
Die Konkavität des Optimierungsproblems folgt aus der Konkavität der Kapazitätswertfunktion.
Die linearen Komponenten besitzen hierauf keinen Einfluss.
49
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A., (1996), S. 353.
20
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
2.3 Definition und Erläuterung der ISD-Politik
In diesem Abschnitt soll die ISD-Politik im Ein- und Mehrkapazitätsfall definiert und
beschrieben werden. Sie stellt für den in Abschnitt 2.2 dargestellten Kapazitätspla-
nungsansatz die Struktur des optimalen Kapazitätsanpassungsverhaltens dar. Zudem
besitzt diese Politik in weiteren mehrperiodigen Kapazitätsplanungsmodellen
Optimalitätscharakter, wie aus Abschnitt 2.1 hervorgeht.
Bevor die ISD-Politik definiert wird, wird diese im Einkapazitätsfall graphisch
dargestellt:
Investition
Desinvestition
( )
1,
L
t
t
K
( )
1,
H
t
t
K
Beibehaltung
0
1, 1
t
K
-
Abbildung 2.3 Die ISD-Politik im Einkapazitätsfall
Für alle möglichen Anfangskapazitätsniveaus
1, 1
t
K
-
der Kapazität 1 kann der optimale
Anpassungsprozess durch diese Politik beschrieben werden:
Falls
( )
1, 1
1,
L
t
t
K
K
t
-
<
bzw.
( )
1, 1
1,
H
t
t
K
K
t
-
>
gilt, sollte eine Kapazitätsanpassung auf
( )
1,
L
t
t
K
bzw.
( )
1,
H
t
t
K
vorgenommen werden. Befindet sich das aktuelle Kapazitäts-
niveau jedoch zwischen diesen Grenzen (
( )
1,
1, 1
1,
L
t
t
t
t
t
K
K
K
( )
H
-
), sollte dieses
Niveau beibehalten werden
.
1,
1, 1
(
)
t
t
K
K
-
=
Es existieren hierbei also zwei Grenzniveaus, auf welche im Falle einer Kapazitäts-
veränderung stets angepasst wird. Für Anfangskapazitätsniveaus im Bereich zwischen
21
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
diesen Grenzen sollte optimalerweise keine Kapazitätsanpassung vorgenommen
werden. Dieser Bereich existiert aufgrund der angenommenen costly to reverse -
Eigenschaft der Kontrollkostenfunktion und wird als Kontinuitätsbereich bezeichnet.
Im Falle
1,
1,
t
c
r
t
=
reduziert sich dieser Bereich auf einen einzigen Punkt, der stets das
optimale Kapazitätsniveau darstellt. Diese Form einer optimalen Politik existiert auch
im Mehrkapazitätsfall.
Es folgt die Definition der ISD-Politik und deren Beschreibung im Mehrkapazitätsfall:
Eine Politik
t
in Periode
{
}
1,...,
t
T
N
ist eine ISD-Politik, falls für alle Kapazitäten
zwei Funktionen
1,...,
i
=
(
)
,
( ), 1
,
L
i t
i t
t
K
K
-
50
Zusätzlich sollten für diese Funktionen die hier aufgeführten Eigenschaften gelten:
1.
(
)
(
)
,
( ), 1
,
( ), 1
,
,
L
H
i t
i t
t
i t
i t
t
K
K
K
K
-
-
,
2.
(
)
,
( ), 1
,
L
i t
i t
t
K
K
-
und
(
)
,
( ), 1
,
H
i t
i t
t
K
K
-
sind von allen Anfangskapazitätsniveaus außer
dem der i-ten Kapazität
, 1
i t
K
-
abhängig.
3.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
( ), 1
, 1
,
( ), 1
i,t
1
,
( ), 1
, 1
,
( ), 1
1, 1
,
,
,
,
L
L
i t
i t
t
i t
i t
i t
t
H
H
t
t
i t
i t
t
i t
i t
i t
t
t
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
sonst
,
-
-
-
-
-
-
<
=
>
-
-
Insbesondere bei der Betrachtung des dritten Punktes der Definition wird die Struktur
der ISD-Politik deutlich:
Im Mehrkapazitätsfall kann bei Kenntnis von
1
t
K
-
und
t
und bei gegebenen
Grenzfunktionen
(
)
,
( ), 1
,
L
i t
i t
t
K
K
-
und
(
)
,
( ), 1
,
H
i t
i t
t
K
K
-
eine direkte Zuweisung des
50
stellt den Vektor
ohne die i-te Komponente
( ), 1
i t
K
-
1
t
K
-
, 1
i t
K
-
dar.
22
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
optimalen Vektors vorgenommen werden. Im Einkapazitätsfall sind die Grenzen
t
K
( )
1,
L
t
t
K
und
( )
1,
H
t
t
K
keine Funktionen, sondern reelle Werte.
Die Einordnung von
in Bezug auf diese Werte ergibt bei Kenntnis von
1, 1
t
K
-
t
eine
direkte Anweisung zur Wahl von
. Im mehrdimensionalen Fall entsprechen diesen
Werten Funktionen, die jedoch eine analoge ,,Fähigkeit" besitzen.
1,t
K
Der zweite Punkt der Definition beschreibt ebenfalls eine wesentliche Charakteristik
der ISD-Politik: Der Verlauf der Grenzfunktionen einer Kapazität ist vom Anfangs-
wert dieser Kapazität unabhängig, bestimmt aber nach Punkt drei der Definition deren
Zielwert nach Anpassung.
Falls die Anfangskapazitätsvektoren bezüglich aller Grenzfunktionen dieselbe Lage
besitzen, ist der konkrete Anfangskapazitätsvektor für die optimale Anpassung
irrelevant. Dies ist ebenfalls im Einkapazitätsfall sichtbar, da beispielsweise alle
Punkte, die sich in Abbildung 2.3 links der Grenze
( )
1,
L
t
t
K
befinden, optimalerweise
gerade hierhin angepasst werden. Der konkrete Abstand zur Grenze hat keine Folgen.
Der erste Punkt der Definition stellt hingegen eine sofort einsehbare Bedingung an die
Grenzfunktionen.
In Abbildung 2.4 wird die ISD-Politik im Fall zweier Kapazitäten visualisiert.
Anfangskapazitätstupel
(
)
1, 1
2, 1
,
t
t
K
K
-
-
und Kapazitätstupel nach optimaler Anpassung
sind bei einem bekannten
(
1,
2,
,
t
t
K
K
)
t
in Form von Punkten im zweidimensionalen
Koordinatensystem dargestellt. Anfangs- und Zieltupel der Anpassung sind durch
Linien miteinander verbunden. Die eingezeichneten Pfeile sollen die Richtung der
Kapazitätsanpassung verdeutlichen.
23
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
( )
1,
L
t
t
K
(
)
1,
2, 1
,
L
t
t
t
K
K
-
(
)
1,
2, 1
,
H
t
t
t
K
K
-
(
)
2,
1, 1
,
L
t
t
t
K
K
-
(
)
2,
1, 1
,
H
t
t
t
K
K
-
Abbildung 2.4: Darstellung der ISD-Politik für zwei Kapazitäten
2, 1
t
K
-
1, 1
t
K
-
Es wird deutlich, dass die eingezeichneten Grenzfunktionen
(
)
1,
2, 1
,
L
t
t
t
K
K
-
,
(
)
1,
2, 1
,
H
t
t
t
K
K
-
,
(
)
2,
1, 1
,
L
t
t
t
K
K
-
und
(
)
2,
1, 1
,
L
t
t
t
K
K
-
den
in neun Bereiche partitio-
nieren, in denen eine ähnliche Kapazitätsanpassungshandlung durchgeführt wird.
Außerhalb des Kontinuitätsbereiches erfolgt stets eine Anpassung auf den Rand dieses
Bereiches. Für Anfangskapazitätstupel innerhalb des Kontinuitätsbereiches ist die
Beibehaltung des aktuellen Kapazitätsniveaus optimal, da jede Kapazitätsveränderung
negativ auf den Gewinn wirkt. In diesem Bereich sind die Kosten einer Kapazitätser-
höhung höher als die hieraus resultierenden erwarteten Erlöse. Andererseits sind die
Desinvestitionserlöse durch den Verkauf von Kapazitätseinheiten zu gering, um die
damit verbundenen Mindereinnahmen auszugleichen.
2
Das Ausmaß der Irreversibilität in Form der Ausprägung der costly to reverse-
Bedingung
der Kontrollkostenfunktion legt die Größe des Kontinuitätsbereiches
51
Die Irreversibilität im Sinne einer Nichtumkehrbarkeit bzw. verlustbringenden Umkehrbarkeit der
Kapazitätsentscheidung wächst mit dem Unterschied von Einheitskosten und Desinvestitionserlösen
pro Kapazitätseinheit.
24
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
fest. Für
sind beide Kapazitäten vollkommen irreversibel und erworbene
Kapazitätseinheiten werden unter keinen Umständen wieder verkauft. Ein Hystere-
seeffekt
1,
2,
0
t
t
r
r
=
=
tritt in stärkster Ausprägung auf.
Für
und
sind die Kapazitäten hingegen vollkommen reversibel und
es findet, ausgehend von nahezu allen Anfangskapazitätstupeln eine Kapazitätsverän-
derung statt, da diese ohne Verursachung von Verlusten revidiert werden kann.
1,
1,
t
r
c
=
t
t
2,
2,
t
r
c
=
Der Verlauf der eingezeichneten Grenzfunktionen, die den Kontinuitätsbereich
festlegen, hängt davon ab, inwieweit eine Interaktion zwischen den Kapazitäten
stattfindet. Im komplementären Fall ist ein steigender Verlauf, im substitualen Fall ein
fallender Verlauf gegeben
.
Für Anfangskapazitätstupel auf einer Grenzfunktion am Rand des Kontinuitätsberei-
ches verursacht die Investition bzw. Desinvestition einer (marginalen) Kapazitätsein-
heit gerade einen (marginalen) Nullgewinn unter Konstanthaltung des aktuellen
Niveaus der jeweils anderen Kapazität. Beispielsweise gilt für die erste Kapazität am
Rand:
1,
2, 1
1,
1,
(
,
, )
L
t
t
t
t
t
g
K
K
c
K
-
=
t
und
1,
2, 1
1,
1,
(
,
, )
H
t
t
t
t
t
g
K
K
r
K
-
t
=
54
52
Hysterese bezeichnet das Fortdauern einer Wirkung nach dem Wegfall ihrer Ursache.
53
Im komplementären bzw. substitualen Fall wird von positiven bzw. negativen gemischten
Ableitungen der Kapazitätswertfunktion ausgegangen. Eberly und Van Mieghem verwenden hierfür
die Begriffe supermodular bzw. submodular. Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997), S. 357.
54
Notationell bedeutet
( )
0
f
x
x
die Ableitung der Funktion f an der Stelle
0
x
, wohingegen
( )
f x
x
die Ableitungsfunktion der Funktion
f
beschreibt.
25
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Der Kontinuitätsbereich kann für den Fall mit Kapazitäten folgendermaßen als
zusammenhängende Menge
N
( )
n
t
t
S
t
beschrieben werden:
( )
(
)
:
,
n
t
t
t
t
t
t
t
t
t
g
S
K
r
K
K
=
c
on
(2.12)
Ausgehend von Anfangskapazitätsvektoren außerhalb v
( )
t
t
S
sollte eine
Anpassung auf den Rand von
( )
t
t
S
erfolgen. Ansonsten ist die Beibehaltung des
Kapazitätsniveaus optimal.
Aus technischer Sicht kann festgestellt werden, dass die ISD-Politik eine Politik im
,,reinsten Sinne" darstellt und dementsprechend zu sehr präzisen Aussagen führt. Die
beiden hierfür notwendigen Voraussetzungen sind gegeben:
Jeder Anfangskapazitätsvektor kann in eine Partition eingeteilt werden. Eine Partition
ist hierbei dadurch definiert, dass für alle Anfangskapazitätsvektoren innerhalb der
Partition dieselbe ,,Handlungsalternative" optimal ist. Beispielsweise ist in Abbildung
2.4 für alle Anfangskapazitätstupel, die sich durch ein sehr geringes Niveau bezüglich
beider Kapazitäten auszeichnen, die Handlungsalternative Erhöhung beider Kapazi-
tätsniveaus
optimal.
Darüber hinaus weist die ISD-Politik jedem Anfangskapazitätstupel ein optimales
Zieltupel zu. So ist es, ausgehend von den beschriebenen Anfangskapazitätstupeln
optimal, ein und dasselbe Zieltupel anzunehmen.
In den folgenden Kapiteln wird aufgezeigt, dass insbesondere die Zuweisung von
optimalen Zielkapazitätsvektoren zu allen möglichen Anfangskapazitätsvektoren nur
55
Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn sich zwei beliebige Punkte innerhalb der Menge durch
eine Kurve innerhalb der Menge verbinden lassen.
56
Vgl. Eberly, J. C./Van Mieghem, J. A. (1997), S. 355.
26
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
unter Annahme linearer Kontrollkostenstrukturen möglich ist. Demnach kann unter
Zugrundelegung nichtlinearer Kontrollkostenstrukturen keine derart ,,reine Politik"
formuliert werden.
Ebenfalls wird sich die Partitionierbarkeit der Menge der Anfangskapazitätsvektoren
unter nichtlinearen Kontrollkosten im Verlauf dieser Arbeit als problematisch
herausstellen.
27
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
2.4 Kritische Würdigung
Nach der Vorstellung des Planungsansatzes und der hierfür optimalen Form der
Politik in den vorangegangenen Abschnitten folgt nun eine kritische Würdigung der
Arbeit von Eberly und Van Mieghem. Abschnitt 2.4 enthält zudem einen Ausblick auf
die weiteren Inhalte der vorliegenden Diplomarbeit.
Die Bedeutung der in Abschnitt 2.2 vorgestellten Arbeit ist insbesondere darauf
zurückzuführen, dass die Optimalität der ISD-Politik für ein Modell nachgewiesen
wird, welches sich durch eine sehr geringe Restriktivität bezüglich der zu untersu-
chenden Problemstellung auszeichnet.
Unterschiedliche stochastische Gegebenheiten sind in der Modellierung eingeschlos-
sen. Sowohl Unsicherheit bezüglich den Systemkomponenten Nachfrage, Technologie
und Preise, als auch verschiedene stochastische Abhängigkeiten zwischen Perioden
können berücksichtigt werden. Dies unterstreicht insbesondere die breite Anwendbar-
keit der Aussagen dieser Arbeit.
Ebenfalls werden keinerlei Restriktionen bezüglich der Interaktion zwischen den
Kapazitäten gestellt. Kapazitäten agieren im einfachsten Fall unabhängig voneinander.
Jedoch sind auch Interaktionen im positiven Sinne denkbar, wenn beispielsweise
mehrere Kapazitäten zusammen Produkte fertigen. Ebenso können Kapazitäten auf
negative Weise interagieren. Insbesondere in Kapitel 6 wird deutlich, dass dem
Mehrkapazitätsfall ein deutlich höheres Maß an Komplexität zugeschrieben werden
muss. Dies resultiert hauptsächlich aus den zahlreichen Interaktionsmöglichkeiten
zwischen den Kapazitäten.
28
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Die akademische Relevanz dieser Arbeit selbst und insbesondere der in dieser Arbeit
eingeführten ISD-Politik, schlägt sich in den zahlreichen Arbeiten nieder, die als
direkte Folgearbeiten der Arbeit von Eberly und Van Mieghem bezeichnet werden
können. Wie in Abschnitt 2.1 angesprochen, existieren Arbeiten, die explizit auf der
ISD-Politik
aufbauen und diese in die gewählte Modellierung mit einbeziehen.
Ebenfalls wird die Optimalität der ISD-Politik für weitere Problemstellungen in
einigen Arbeiten nachgewiesen
.
Aus Sicht der vorliegenden Diplomarbeit existiert die Möglichkeit, insbesondere in
zwei Punkten an die Arbeit von Eberly und Van Mieghem anzusetzen:
Kapazitätsplanung wird in der Regel in die Klasse der taktisch-strategischen Ent-
scheidungen eingeordnet. Auf diese folgt deren Umsetzung in der Form, dass
beispielsweise Kapazitätseinheiten am Markt beschafft bzw. abgesetzt werden. Das
angestrebte Kapazitätsniveau sollte spätestens dann zur Verfügung stehen, wenn der
Kapazitätsbedarf der aktuellen Periode bekannt ist. Die im Ansatz von Eberly und
Van Mieghem implizit getroffene Annahme, dass es zeitlich ausreichend ist, Kapazität
erst bei Kenntnis aller stochastischen Parameter der aktuellen Periode - also ex post -
zu erwerben, findet sich in der Praxis nicht wieder, da die Existenz von lead times
berücksichtigt werden muss. Andere Arbeiten im Bereich der Kapazitätsplanung, wie
beispielsweise die in Abschnitt 2.1 angesprochene Arbeit von Harrison und Van
Mieghem
, gehen deshalb von einer Kapazitätsentscheidung aus, die auch für die
aktuelle Periode unter Unsicherheit stattfindet.
Hieraus motiviert wird in Kapitel 3 dieser Diplomarbeit ein stochastisch-dynamischer
Kapazitätsplanungsansatz entwickelt, welcher von einer Kapazitätsentscheidung der
57
Vgl. Abschnitt 2.1.
58
Vgl. Harrison, J. M./Van Mieghem, J. A. (1999).
29
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
aktuellen Periode vor Kenntnis der stochastischen Parameter in dieser Periode
ausgeht.
Die Kapazitätsentscheidung wird in diesem Ansatz demnach ex ante, auf Basis von
Erwartungen an die aktuelle Periode und vor Realisation aller stochastischen Parame-
ter getroffen.
Weiterhin wird hierbei von linearen Kosten- und Desinvestitionserlösfunktionen
ausgegangen. Es wird aufgezeigt, dass auch unter einem derart modifizierten Informa-
tionsstand die ISD-Politik die optimale Lösungsstruktur darstellt.
Die Anwendbarkeit des Planungsmodells von Eberly und Van Mieghem auf weitere
Gegebenheiten wird durch die strikte Annahme von linearen Kontrollkostenstrukturen
verhindert. Auf alle in Abschnitt 2.1 aufgeführten Arbeiten, die Folgearbeiten des
Ansatzes von Eberly und Van Mieghem darstellen, trifft dieser Kritikpunkt im selben
Maße zu.
Die Erhöhung oder Reduktion des Kapazitätsniveaus kann mit unterschiedlichsten
Kontrollkostenstrukturen verbunden sein, was in den Ansätzen nicht berücksichtigt
wird. In diesem Punkt ist demnach eine deutliche Unflexibilität festzustellen.
Eine konkave Kostenfunktion kann für die Miteinbeziehung von Fixkosten und
economies of scale
in den Planungsprozess stehen
.
Kapazität kann jedoch auch mit steigenden Einheitskosten behaftet sein. Beispielswei-
se sind bei Hightechkapazitäten oft technische Grenzen vorgegeben, deren Über-
schreitung mit sehr hohen Kosten verbunden ist. Konvexe Kostenfunktionen können
zudem für diseconomies of scale stehen und werden in der Literatur intensiv unter-
sucht.
59
Vgl. die in Abschnitt 2.1 aufgeführten Arbeiten, die Kapazitätsniveauveränderungen unter
nichtlinearen Kontrollkostenstrukturen betrachten.
30
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
Konkave Desinvestitionserlöse sind gemäß der Finanzierungstheorie beispielsweise
dann gegeben, wenn Kapazität kreditfinanziert ist. Die Desinvestitionserlöse der
ersten abgesetzten Kapazitätseinheiten sind höher, da hierdurch die Kredite, die mit
hohem Zinssatz aufgenommen wurden, aufgelöst werden können.
Ebenfalls werden im Desinvestitionsfall in der Regel zunächst weniger rentable
Kapazitäten (mit geringerem Verkaufserlös) reduziert, bevor ein Unternehmen
rentablere und damit auch höherwertige Kapazitätseinheiten liquidiert. Einer solchen
Situation kann mit Hilfe einer konvexen Desinvestitionserlösfunktion Rechnung
getragen werden.
Unter nichtlinearen Kontrollkostenfunktionen stellt die ISD-Politik nicht die optimale
Lösungsstruktur dar. Es stellt sich somit die Frage, ob auch unter diesen Bedingungen
optimale Politiken oder zumindest Struktureigenschaften des Anpassungsprozesses für
das Modell von Eberly und Van Mieghem nachgewiesen werden können.
Die Kapitel 5 und 6 untersuchen deshalb, inwieweit für dieses Planungsmodell der
optimale Anpassungsprozess im Ein- und Mehrkapazitätsfall unter weiteren Kosten-
und Desinvestitionserlösfunktionen strukturell beschrieben werden kann.
Notwendig zur Analyse von Struktureigenschaften mehrperiodiger Planungsmodelle
ist jedoch deren Repräsentation in Form von Optimierungsproblemen. Unter Zugrun-
delegung linearer Kontrollkostenstrukturen ist dies möglich und wird von Eberly und
Van Mieghem, wie auch in dem in Kapitel 3 zu findenden eigenen Planungsansatz,
angewendet. Kapitel 4 als ,,Bindeglied" zeigt auf, dass eine solche Repräsentation
auch unter Annahme von weiteren Kontrollkostenstrukturen möglich ist. Teilweise
sind in diesem Fall jedoch zusätzliche Bedingungen notwendig.
Dies führt wiederum zu Optimierungsproblemen von ähnlicher Struktur wie im
linearen Fall. Die Kapitel 5 und 6 greifen exakt diese Optimierungsprobleme auf und
gelangen durch deren Analyse zur Struktur des optimalen Kapazitätsanpassungspro-
31
2. Der Ansatz von Eberly und Van Mieghem
zesses im Planungsmodell von Eberly und Van Mieghem unter nichtlinearen Kon-
trollkostenstrukturen.
Kapitel 5 ist hierbei explizit dem Einkapazitätsfall gewidmet und leitet optimale
Politiken für verschiedenartig gekrümmte Kosten- und Desinvestitionserlösfunktionen
her. Jeweils wird die Menge der Anfangskapazitätsvektoren in Partitionen eingeteilt,
worauf die Beschreibung von Struktureigenschaften des Anpassungsprozesses für alle
Partitionen folgt.
Kapitel 6 untersucht den Mehrkapazitätsfall. Es werden in diesem Kapitel keine
optimalen Politiken hergeleitet, da eine Partitionierung der Menge aller Anfangskapa-
zitätsvektoren nicht analytisch nachgewiesen werden kann. Eine bewiesene Partitio-
nierung stellt jedoch - aus Sicht dieser Arbeit - eine notwendige Voraussetzung für
eine Politik dar.
Struktureigenschaften des Anpassungsprozesses werden jedoch auch im Mehrkapazi-
tätsfall nachgewiesen.
Abbildung 2.5 stellt die strukturellen Zusammenhänge zwischen den folgenden
Kapiteln graphisch dar.
32
Ende der Leseprobe aus 262 Seiten
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Details
- Arbeit zitieren
- , 2006, Stochastisch-dynamische Kapazitätsplanung unter verallgemeinerten Kostenstrukturen im Mehrfaktorenfall, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.bachelor-master-publishing.de/document/297121